📊 卡方检验演示

交互式卡方检验（Chi-square Test）统计方法演示

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📚 什么是卡方检验？

卡方检验（Chi-square Test）是一种常用的统计假设检验方法，主要用于：

  • 拟合优度检验：检验观察频数是否符合理论分布
  • 独立性检验：检验两个分类变量之间是否相互独立
  • 同质性检验：检验多个总体的分布是否相同

在本演示中，我们主要展示独立性检验，通过列联表（Contingency Table）来分析两个分类变量之间的关系。

🧮 数学公式

卡方统计量：

\[ \chi^2 = \sum_{i=1}^{r} \sum_{j=1}^{c} \frac{(O_{ij} - E_{ij})^2}{E_{ij}} \]

期望频数：

\[ E_{ij} = \frac{(行合计_i) \times (列合计_j)}{总样本数} \]

自由度：

\[ df = (行数 - 1) \times (列数 - 1) \]

其中：

  • \( O_{ij} \) = 观察频数（第i行第j列）
  • \( E_{ij} \) = 期望频数（第i行第j列）
  • \( r \) = 行数
  • \( c \) = 列数

💡 核心概念详解

1. 观察频数（Observed Frequency）

定义：观察频数是指在研究中实际观察到的数据，即在每个单元格中实际发生的次数或数量。

如何取值：

  • 直接计数：通过实际调查、实验或数据收集得到的具体数值
  • 必须是整数：频数表示的是"个数"，所以必须是 0 或正整数
  • 实际数据：这些是你从样本中直接观察到的真实数据

📝 示例：研究"吸烟与肺癌"的关系

患肺癌 未患肺癌
吸烟 100 50
不吸烟 200 150

这里的 100、50、200、150 就是观察频数，表示实际调查中：
• 吸烟且患肺癌的有 100 人
• 吸烟但未患肺癌的有 50 人
• 不吸烟但患肺癌的有 200 人
• 不吸烟且未患肺癌的有 150 人

2. 期望频数（Expected Frequency）

定义：期望频数是在原假设（两个变量独立）成立的情况下，理论上应该出现的频数。

如何计算：

  • 计算公式：\[ E_{ij} = \frac{(第i行的合计) \times (第j列的合计)}{总样本数} \]
  • 理论基础：如果两个变量真的独立，那么每个单元格的频数应该等于该行比例 × 该列比例 × 总样本数
  • 可以是小数：期望频数是理论值，可以是小数（但实际观察频数必须是整数）

📝 计算示例：继续使用上面的"吸烟与肺癌"数据

步骤 1：计算行合计和列合计

患肺癌 未患肺癌 行合计
吸烟 100 50 150
不吸烟 200 150 350
列合计 300 200 500

步骤 2：计算期望频数（假设吸烟与肺癌独立）

  • 吸烟且患肺癌的期望值：\[ E_{11} = \frac{150 \times 300}{500} = \frac{45000}{500} = 90 \]
  • 吸烟但未患肺癌的期望值：\[ E_{12} = \frac{150 \times 200}{500} = \frac{30000}{500} = 60 \]
  • 不吸烟但患肺癌的期望值：\[ E_{21} = \frac{350 \times 300}{500} = \frac{105000}{500} = 210 \]
  • 不吸烟且未患肺癌的期望值：\[ E_{22} = \frac{350 \times 200}{500} = \frac{70000}{500} = 140 \]

💭 理解：如果吸烟与肺癌真的独立，那么：
• 吸烟的人中，患肺癌的比例应该和总体中患肺癌的比例相同（300/500 = 60%）
• 所以吸烟且患肺癌的期望人数 = 150（吸烟总数）× 60% = 90 人
• 这就是"期望频数"的含义：在独立性假设下，理论上应该有多少人

🔍 观察频数 vs 期望频数

关键区别：

特征 观察频数 期望频数
来源 实际观察到的数据 根据独立性假设计算的理论值
取值 必须是整数（0, 1, 2, ...） 可以是小数（如 90.5）
含义 "实际有多少" "理论上应该有多少"
作用 描述实际情况 作为比较的基准（如果变量独立）

🎯 卡方检验的核心思想：
比较观察频数和期望频数的差异。如果差异很大，说明观察到的数据与"变量独立"的假设不符，从而拒绝原假设，认为变量之间存在关联。

📊 p值与显著性水平详解

1. p值（P-value）

定义：p值是在原假设为真的前提下，观察到当前数据（或更极端数据）的概率。

📐 如何计算p值：

  1. 计算卡方统计量：根据观察频数和期望频数计算得到 χ² 值
  2. 确定自由度：df = (行数 - 1) × (列数 - 1)
  3. 查找卡方分布：根据自由度和卡方统计量，在卡方分布表中查找对应的概率
  4. 计算p值：p值 = P(χ² ≥ 计算得到的χ²值 | 原假设为真)

数学表达：\[ p = P(\chi^2 \geq \chi_{计算}^2 | H_0为真) \]
其中 \( H_0 \) 表示原假设（两个变量独立）

💡 p值的含义：

  • p值很小（如 p < 0.05）：说明在原假设为真的情况下，观察到当前数据的概率很小，因此有理由怀疑原假设，倾向于拒绝原假设
  • p值较大（如 p ≥ 0.05）：说明在原假设为真的情况下，观察到当前数据的概率较大，没有足够证据拒绝原假设
  • p值不是：
    • ❌ 原假设为真的概率
    • ❌ 备择假设为真的概率
    • ❌ 犯错误的概率

📝 计算示例：

假设我们计算得到 χ² = 8.5，自由度 df = 1
• 在卡方分布表中查找：当 df = 1 时，χ² = 3.841 对应的概率是 0.05
• 由于 8.5 > 3.841，说明 p值 < 0.05
• 更精确地，通过卡方分布函数计算：p值 ≈ 0.0035
• 这意味着：如果两个变量真的独立，观察到 χ² ≥ 8.5 的概率只有 0.35%

2. 显著性水平（Significance Level, α）

定义：显著性水平α是研究者事先设定的阈值，用于判断是否拒绝原假设。它表示我们愿意接受的犯第一类错误（错误地拒绝真原假设）的最大概率。

📐 如何设置显著性水平：

  • 由研究者决定：α是研究者在进行检验之前就设定的，不是计算出来的
  • 常见取值：
    • α = 0.05（5%）—— 最常用
    • α = 0.01（1%）—— 更严格，更难拒绝原假设
    • α = 0.10（10%）—— 较宽松，更容易拒绝原假设
  • 临界值计算：根据α和自由度，在卡方分布表中查找临界值 χ²α
    \[ \chi^2_{\alpha} = \text{使得 } P(\chi^2 \geq \chi^2_{\alpha}) = \alpha \text{ 的值} \]

🎯 为什么通常取 α = 0.05？

  1. 历史传统：
    • 由统计学家Ronald Fisher在20世纪初提出并推广
    • 经过长期实践，0.05成为了统计学界的"金标准"
    • 大多数统计软件和教科书默认使用0.05
  2. 平衡两类错误：
    • 第一类错误（α）：原假设为真，但错误地拒绝了它（假阳性）
    • 第二类错误（β）：原假设为假，但错误地接受了它（假阴性）
    • α = 0.05 意味着我们愿意接受5%的假阳性率，这是一个相对合理的平衡点
  3. 实用考虑：
    • 太严格（如α = 0.01）：可能错过真实存在的关联（第二类错误增加）
    • 太宽松（如α = 0.10）：可能得出虚假的关联（第一类错误增加）
    • 0.05 在严格性和敏感性之间取得了较好的平衡
  4. 领域差异：
    • 医学研究：可能使用更严格的α = 0.01（因为错误结论代价高）
    • 探索性研究：可能使用较宽松的α = 0.10（为了发现潜在关联）
    • 社会科学：通常使用α = 0.05

🔗 p值与显著性水平的关系

判断规则：

情况 判断 解释
p值 < α 拒绝原假设 观察到的数据与原假设不一致，认为存在显著关联
p值 ≥ α 不能拒绝原假设 没有足够证据表明存在关联，但不能证明变量独立

📊 可视化理解：

想象卡方分布曲线（右偏分布）：
• 临界值 χ²α：将分布曲线下的面积分为两部分，右侧面积 = α
• 计算得到的 χ²：如果落在临界值右侧（阴影区域），则 p值 < α，拒绝原假设
• p值：就是计算得到的 χ² 右侧曲线下的面积

\[ \text{如果 } \chi^2_{计算} > \chi^2_{\alpha} \text{，则 } p < \alpha \text{，拒绝 } H_0 \]

📋 完整计算流程示例

步骤1：设定显著性水平 α = 0.05
步骤2：计算卡方统计量，假设得到 χ² = 6.25
步骤3：确定自由度 df = (2-1) × (2-1) = 1
步骤4：查找临界值：当 df = 1, α = 0.05 时，χ²0.05 = 3.841
步骤5：比较：6.25 > 3.841，所以 χ²计算 > χ²临界
步骤6：计算p值：p ≈ 0.0124（通过卡方分布函数计算）
步骤7：判断：p值 (0.0124) < α (0.05)，拒绝原假设
步骤8：结论：在0.05的显著性水平下，两个变量之间存在显著关联

🎛️ 交互控制面板

α (alpha): 0.05

📖 使用说明

  1. 选择列联表类型：根据你的数据选择合适的表格大小，或选择自定义
  2. 输入观察频数：在表格中输入实际的观察数据
  3. 设置显著性水平：通常使用 0.05（5%），也可以根据需要调整
  4. 点击计算：系统会自动计算卡方统计量、p值和检验结果
  5. 解读结果：
    • 如果 p值 < α，拒绝原假设，认为两个变量不独立（存在关联）
    • 如果 p值 ≥ α，不能拒绝原假设，认为两个变量可能独立

⚠️ 注意事项

  • 卡方检验要求期望频数不能太小，通常要求每个单元格的期望频数 ≥ 5
  • 如果期望频数太小，可以考虑合并类别或使用Fisher精确检验
  • 卡方检验只能检验变量间是否存在关联，不能说明关联的强度和方向
  • 样本量要足够大，才能保证检验的有效性

📚 参考资源

卡方分布表在线资源：

💡 使用提示：在卡方分布表中，横轴是自由度（df），纵轴是显著性水平（α），交叉处的数值就是对应的临界值 χ²α。