📚 卡尔曼滤波在做什么？
卡尔曼滤波（Kalman Filter）是一种最优递推估计器：在每一时刻， 把带噪声的测量值与运动模型预测按不确定性加权融合， 得到对真实状态更可靠的估计。
核心两步循环：
- 预测：根据模型推算下一时刻状态，不确定性增大（加过程噪声 $Q$）
- 更新：用新测量修正预测，卡尔曼增益 $K$ 决定「更信模型还是更信测量」
🧮 一维更新公式（标量）
$z_k$：含噪测量；$Q$：过程噪声（模型不确定）；$R$：测量噪声；$K_k\in[0,1]$ 越大越信任测量。
🎮 交互演示
选择真实波形（由简到繁）：
📊 误差指标说明
| 指标 | 含义 | 如何解读 |
|---|---|---|
| RMSE | 均方根误差 $\sqrt{\frac1N\sum(\hat x-x)^2}$ | 综合衡量偏离，对大误差敏感 |
| MAE | 平均绝对误差 | 更直观的平均偏差 |
| 最大误差 | $\max|\hat x - x|$ | 最坏情况下的偏离 |
| 改善率 | $1 - \mathrm{RMSE}_\text{滤波}/\mathrm{RMSE}_\text{测量}$ | 相对原始测量提升了多少 |
| SNR 增益 | $20\log_{10}(\mathrm{RMSE}_\text{raw}/\mathrm{RMSE}_\text{filt})$ | 信噪比意义上的提升（dB） |
🔧 调参直觉
- R 增大：测量更不可信 → $K$ 变小 → 曲线更平滑，但对突变反应变慢
- Q 增大：更相信状态会变 → 跟踪更快，但噪声抑制变弱
- 常量信号：用随机游走 + 小 Q 效果最好
- 正弦/斜坡：用匀变速模型；方波/阶跃会有不可避免的滞后（因果滤波器无法预知未来）
📶 实际用例：蓝牙 RSSI 三角定位
室内定位常见方案：在墙上固定若干蓝牙 Beacon（锚点），坐标 $(x_i,y_i)$ 已知； 手机/接收器扫描到各锚点的 RSSI（信号强度，dBm）。 单次 RSSI 受多径、遮挡、天线方向影响，波动很大； 但多次测量的均值与距离存在稳定的相关——距离越远，信号越弱（对数衰减）。
对数距离路径损耗模型
$A$：参考距离 $d_0{=}1\,\mathrm{m}$ 处的 RSSI；$n$：路径损耗指数（室内约 $2.5{\sim}4$）； $w$：单次测量噪声。反解距离：$\hat d = d_0 \cdot 10^{(A-\overline{\mathrm{RSSI}})/(10n)}$。
- 采集：接收器对每个 Beacon 反复测 RSSI（如每秒 10 次），得到一串带噪序列 $z_k$。
- 第一层滤波（标量卡尔曼）：对每个锚点的 RSSI 分别做一维 KF（或滑动平均），得到平滑的 $\overline{\mathrm{RSSI}}_i$，再换算为估计距离 $\hat d_i$。——对应上方「常量/缓变 + 噪声」演示。
- 三边测量 / 三角定位：已知 $(x_i,y_i)$ 与 $\hat d_i$，求接收器 $(x,y)$，使到各锚点距离尽量吻合（$\ge 3$ 个锚点）。单次解算仍会有误差。
- 第二层滤波（位置卡尔曼）：把每帧解算出的 $(x_m,y_m)$ 当作位置观测，用二维常速度模型跟踪 $[x,y,v_x,v_y]$，抑制跳点、预测短暂遮挡时的位置。——人走动时位置连续，适合 KF。
🗺️ 交互模拟：拖动绿色接收器，观察定位误差
蓝点为 Beacon；绿点为真实位置（可拖）； 红叉为仅用当前瞬时 RSSI 解算的位置； 紫点为「RSSI 滤波 → 距离 → 三边测量 → 位置卡尔曼」后的估计。
- 至少 3 个不共线 锚点才能定平面位置；4 个以上可用最小二乘提高鲁棒性。
- RSSI 换距离本身有系统误差（墙体、人体遮挡），需标定 $A,n$ 或建指纹库。
- 「先对 RSSI 滤波、再定位、再对位置滤波」是两级卡尔曼；也可扩展为扩展卡尔曼（EKF）直接融合非线性 RSSI 模型。
- 若接收器静止，位置层可设极小 $Q$，主要靠多次 RSSI 平均收敛；移动时增大 $Q$ 以跟踪速度。
✏️ 基础知识测验
完成演示后自测：选一项后显示解析。共 5 题。