🔊 高斯噪声 vs 拉普拉斯噪声对比演示

🔵 高斯噪声（Gaussian Noise）

原理：对每个像素的RGB通道独立添加服从高斯分布的随机噪声。

数学表达：

\[ I_{noisy}(x,y) = I_{original}(x,y) + N(0, \sigma^2) \]

其中 $N(0, \sigma^2)$ 是均值为0、标准差为$\sigma$的高斯分布。

随机变量生成：

• 使用 Box-Muller 变换从均匀随机数生成高斯随机数
• 公式：$Z = \sqrt{-2\ln(U_1)} \cos(2\pi U_2)$，其中 $U_1, U_2 \sim \text{Uniform}(0,1)$
• 对每个像素的 R、G、B 三个通道独立生成随机噪声值
• 每次点击"添加噪声"都会生成新的随机噪声模式

特点：

• 噪声分布对称，呈钟形曲线
• 尾部衰减快，极端值出现概率低
• 适合模拟传感器噪声、热噪声等
• 在图像中表现为均匀的颗粒状噪声

参数说明：

• σ（标准差）：控制噪声强度，值越大噪声越明显
• 通常取值范围：5-50（对于8位图像，像素值0-255）

🟠 拉普拉斯噪声（Laplace Noise）

原理：对每个像素的RGB通道独立添加服从拉普拉斯分布的随机噪声。

数学表达：

\[ I_{noisy}(x,y) = I_{original}(x,y) + L(0, b) \]

其中 $L(0, b)$ 是位置参数为0、尺度参数为$b$的拉普拉斯分布。

随机变量生成：

• 使用 逆变换方法从均匀随机数生成拉普拉斯随机数
• 公式：$X = \mu - b \cdot \text{sign}(U) \cdot \ln(1 - 2|U|)$，其中 $U \sim \text{Uniform}(-0.5, 0.5)$
• 对每个像素的 R、G、B 三个通道独立生成随机噪声值
• 每次点击"添加噪声"都会生成新的随机噪声模式

特点：

• 噪声分布对称，在原点处有尖峰
• 尾部衰减慢，极端值（异常值）出现概率较高
• 适合模拟脉冲噪声、稀疏噪声等
• 在图像中可能出现明显的异常亮点或暗点

参数说明：

• b（尺度参数）：控制噪声强度，值越大噪声越明显
• 通常取值范围：5-50（对于8位图像）
• 与高斯噪声相比，相同b值下极端值更多

🎲 随机变量实现细节

随机数生成器：使用 JavaScript 的 Math.random() 函数生成均匀分布的随机数（范围 [0, 1)）。

实现方法：

• 高斯噪声：Box-Muller 变换
  • 生成两个独立的均匀随机数 $U_1, U_2$
  • 计算：$Z = \sqrt{-2\ln(U_1)} \cos(2\pi U_2)$
  • 得到标准正态分布 $N(0,1)$，再缩放：$X = \mu + \sigma \cdot Z$
• 拉普拉斯噪声：逆变换方法
  • 生成均匀随机数 $U \in [-0.5, 0.5]$
  • 计算：$X = \mu - b \cdot \text{sign}(U) \cdot \ln(1 - 2|U|)$
  • 得到拉普拉斯分布 $L(\mu, b)$

独立性：

• 每个像素的 R、G、B 通道的噪声值相互独立
• 不同像素的噪声值也相互独立
• 这符合实际噪声的统计特性（白噪声）

随机性：

• 每次点击"添加噪声"按钮都会生成全新的随机噪声模式
• 即使参数相同，每次生成的噪声图像也会不同
• 这模拟了真实场景中噪声的随机性

1. 高斯滤波（Gaussian Filter）

原理：使用高斯核与图像进行卷积，对每个像素用其邻域像素的加权平均替换。

数学表达：

\[ I_{filtered}(x,y) = \sum_{i,j} I(x+i, y+j) \cdot G(i,j) \]

其中 $G(i,j) = \frac{1}{2\pi\sigma^2} e^{-\frac{i^2+j^2}{2\sigma^2}}$ 是高斯核。

优点：

• 计算速度快，实现简单
• 对高斯噪声效果较好
• 平滑效果好，能有效去除高频噪声

缺点：

• 会模糊图像边缘和细节
• 对拉普拉斯噪声（异常值）效果较差
• 核大小越大，模糊越明显

适用场景：高斯噪声、轻微噪声、实时处理

参数建议：核大小通常为3、5、7等奇数，σ = 核大小/3

2. 中值滤波（Median Filter）

原理：用邻域像素的中位数替换中心像素，对异常值非常鲁棒。

数学表达：

\[ I_{filtered}(x,y) = \text{median}\{I(x+i, y+j) : (i,j) \in \text{neighborhood}\} \]

优点：

• 对异常值（脉冲噪声）非常鲁棒
• 能保持边缘，不会过度模糊
• 对拉普拉斯噪声效果好
• 计算复杂度中等

缺点：

• 对高斯噪声效果不如高斯滤波
• 可能丢失细节（特别是细线、角点）
• 需要排序操作，计算比均值滤波慢

适用场景：脉冲噪声、拉普拉斯噪声、需要保持边缘的去噪

参数建议：核大小通常为3、5、7，过大可能丢失细节

3. 双边滤波（Bilateral Filter）

原理：同时考虑空间距离和像素值相似性的加权平均，既能去噪又能保持边缘。

数学表达：

\[ I_{filtered}(x,y) = \frac{1}{W} \sum_{i,j} I(x+i, y+j) \cdot w_s(i,j) \cdot w_r(I(x+i,y+j), I(x,y)) \]

其中 $w_s$ 是空间权重（基于距离），$w_r$ 是颜色权重（基于像素值差异）。

优点：

• 能保持边缘，不会过度模糊
• 对高斯噪声效果好
• 在平滑区域去噪效果好
• 广泛应用于图像处理

缺点：

• 计算复杂度较高（O(n²)）
• 对纹理区域可能产生伪影
• 参数调整需要经验

适用场景：需要保持边缘的去噪、人像处理、细节保留

参数说明：核大小控制空间范围，颜色标准差（σ_r）控制颜色相似性阈值

4. 非局部均值滤波（Non-Local Means, NLM）

原理：利用图像的自相似性，用相似图像块的平均值来去噪，而不是仅用空间邻域。

数学表达：

\[ I_{filtered}(x) = \frac{1}{Z(x)} \sum_{y \in \Omega} w(x,y) \cdot I(y) \]

其中 $w(x,y) = e^{-\frac{\|P(x) - P(y)\|^2}{h^2}}$，$P(x)$ 是以 $x$ 为中心的图像块。

优点：

• 去噪效果好，能保持纹理
• 利用图像全局信息，不只是局部邻域
• 对重复纹理效果好
• 理论上有良好的数学基础

缺点：

• 计算复杂度非常高（O(n²)）
• 处理大图像非常慢
• 需要大量内存
• 对无重复纹理的区域效果一般

适用场景：高质量去噪、有重复纹理的图像、离线处理

参数说明：搜索窗口大小、图像块大小、滤波参数h需要仔细调整

注意：本演示使用的是简化版本，搜索窗口和图像块都较小，以平衡速度和效果。

💡 算法选择建议

噪声类型	推荐算法	原因
高斯噪声	高斯滤波、双边滤波	高斯滤波快速有效；双边滤波能保持边缘
拉普拉斯噪声	中值滤波、双边滤波	中值滤波对异常值鲁棒；双边滤波综合效果好
需要保持边缘	双边滤波、NLM	这些算法专门设计用于保持边缘
实时处理	高斯滤波、中值滤波	计算速度快
高质量要求	NLM、双边滤波	去噪效果好，但计算较慢