📚 核心公式
贝叶斯定理把「看到证据后，类别有多可能」写成：
$$P(C \mid \mathbf{w}) = \frac{P(\mathbf{w} \mid C)\, P(C)}{P(\mathbf{w})}$$
分母 $P(\mathbf{w})$ 对各类别相同，比较时只需看分子。若假设各词在给定类别下相互独立，则：
$$P(C \mid \mathbf{w}) \propto P(C) \prod_i P(w_i \mid C)$$
以 $C=\text{垃圾}$、$\mathbf{w}=(w_1,\ldots,w_n)$ 为例，预测时选使上式最大的类别。
🔤 公式符号说明
| 符号 | 读法 / 含义 | 在本演示中 |
|---|---|---|
| $C$ | 类别（Class），如「垃圾邮件」或「正常邮件」 | 二分类：垃圾 / 正常 |
| $w_i$ | 邮件中第 $i$ 个词 | 如「免费」「会议」 |
| $\mathbf{w}$ | 整封邮件的词序列 | 你点击选中的词组合 |
| $P(C)$ | 先验概率：未看内容前，该类别的比例 | $P(\text{垃圾})=0.4$，$P(\text{正常})=0.6$ |
| $P(w_i \mid C)$ | 似然：在类别 $C$ 下，出现词 $w_i$ 的概率 | 词卡上「垃圾:35%」即 $P(w_i\mid\text{垃圾})$ |
| $P(C \mid \mathbf{w})$ | 后验：看到邮件内容后，属于 $C$ 的概率 | 我们要算并比较的目标 |
| $\propto$ | 正比于（差一个公共常数因子） | 只比大小、不必算 $P(\mathbf{w})$ |
| $\prod_i$ | 连乘：把每个词的条件概率乘起来 | 「朴素」独立假设的核心 |
| $\log$ | 对数（实际计算常用） | 连乘变连加，避免小数下溢 |
🤔 为什么叫「朴素」？
「朴素」（Naive）不是指算法简单，而是指一个简化假设：认为邮件里每个词的出现彼此独立，只取决于类别。
现实中这往往不成立——例如「免费」和「中奖」常一起出现。但在这个假设下，联合概率可以拆成连乘：
$P(w_1,w_2,\ldots \mid C) \approx P(w_1\mid C)\, P(w_2\mid C)\,\cdots$
假设很「天真」，却常能给出可用且高效的分类结果，尤其在文本、垃圾邮件过滤等场景；因此得名 Naive Bayes，中文译作「朴素贝叶斯」。
📜 历史由来
- 18 世纪 — 英国牧师托马斯·贝叶斯（Thomas Bayes）提出逆概率思想；去世后由友人整理发表，成为贝叶斯定理的基础。
- 20 世纪 — 统计学家将贝叶斯推断系统化；朴素独立假设使高维文本分类在计算上可行。
- 1990 年代 — Paul Graham 等用贝叶斯方法做垃圾邮件过滤，词频统计 + 简单概率模型即可达到实用效果，朴素贝叶斯在工程界广泛流行。
- 今天 — 仍是文本分类、情感分析、垃圾短信识别等的基线模型，也常被用作教学入门算法。
🧮 计算说明（手算例题）
例题：邮件包含「免费」「中奖」，判断垃圾还是正常？（数据与本页词表一致）
- 写出先验：$P(\text{垃圾})=0.4$，$P(\text{正常})=0.6$。
- 查似然：$P(\text{免费}\mid\text{垃圾})=0.35$，$P(\text{中奖}\mid\text{垃圾})=0.28$；正常类分别为 $0.02$、$0.01$。
- 垃圾类得分（对数形式，连乘变连加）：
$\log P(\text{垃圾}\mid\mathbf{w}) \propto \log 0.4 + \log 0.35 + \log 0.28 \approx -0.916 - 1.049 - 1.273 = \mathbf{-3.24}$ - 正常类得分：
$\log P(\text{正常}\mid\mathbf{w}) \propto \log 0.6 + \log 0.02 + \log 0.01 \approx -0.511 - 3.912 - 4.605 = \mathbf{-9.03}$ - 比较：$-3.24 > -9.03$，故预测为垃圾邮件。（对数越大，原概率越大。）
💡 技巧：不必算出 $P(\mathbf{w})$；两类用同一套词，只比 $\log P(C)+\sum \log P(w_i\mid C)$ 即可。下方交互区会实时显示 log 计算过程。
🎮 交互：组装一封邮件
点击词语加入邮件，实时计算是「垃圾」还是「正常」。词卡下方数字即 $P(w_i \mid \text{类别})$ 的统计估计。
✏️ 学习测验
共 5 题，选一项后显示解析。建议先完成上方手算例题与交互演示。
1. 「朴素」贝叶斯里的「朴素」主要指什么？
2. $P(w_i \mid \text{垃圾})$ 在本演示中表示？
3. 实际计算中常用对数 $\log P$ 的主要原因是？
4. 根据本页词表，「会议」更常出现在哪类邮件？
5. 比较 $P(\text{垃圾}\mid\mathbf{w})$ 与 $P(\text{正常}\mid\mathbf{w})$ 时，可以省略 $P(\mathbf{w})$ 是因为？