体检查出阳性，真得病的概率有多大？

先猜一下

某种病在人群里的患病率是 1/1000。有一种检测，false positive rate 是 5%，而且真有病的人一定测出阳性。现在有个人拿到阳性结果，他真得病的概率是多少？四个选项：95%、50%、2%、说不清。

这不是编来考人的题。1978 年它被摆到哈佛医学院 60 名医学生、住院医和主治医生面前，只有 11 人答对，27 人选了 95%。你选哪个？

图1：把 1000 人摊开数，比盯着百分数清楚

别算百分数，先数人

取 1000 个人。按患病率，其中 1 人真有病；因为病人一定检出阳性，这 1 人贡献 1 个真阳性。剩下 999 人没病，假阳性率 5% 作用在这 999 人身上，$999\times 0.05=49.95$，约 50 个假阳性。于是阳性一共 50.95 个，里头真得病的只有 1 个：

这里 $D$ 表示真得病，$+$ 表示检测阳性。1.96% 不是我另算的口径，2013 年那次复现给的正确答案就是 1.96%，并把「2%」「1.96%」「小于 2%」都算对。注意分母是 50.95 而不是 51：假阳性率严格作用于 999 个健康人，不是取整后的 1000 人，这个细节在讨论频率表述的文献里被专门挑出来过。

95% 是怎么冒出来的

选 95% 的人做的是 $1-5\%$。可 5% 是「没病的人里测出阳性」的比例，它的补集是 $P(-\mid \neg D)$，也就是没病的人测出阴性，跟「阳性的人里真有病」不是一个参照类。两个条件概率方向反了，分母换了人群。题目真正要的是 PPV $=P(D\mid +)$，95% 答的是另一个问题。

2013 年 Jain 等人在波士顿一家医院复现了这道题，61 名受访者里 14 人答对，27 人仍然答 95%，答案中位数 66%，是真实值的 33 倍。受访者的书面解释很能说明问题：一位心内科主治写「PPV 不依赖患病率」，一位住院医写「患病率低时 PPV 更好」。两句话都把基础率从式子里删掉了，而它恰恰是这题唯一的题眼。

图2：两次实验里答对与答 95% 的人数占比

换个说法，正确率就变了

同一批研究者还试过改题目措辞。把百分数改写成自然频数：1000 人里 1 人得病，这 1 人必定测出阳性；每 1000 个健康人里有 50 个会误报。再问「测出阳性的人里，多少是真得病」。Cosmides 与 Tooby 的实验中，斯坦福本科生在原始百分数版只有 3/25（12%）答对，换频数版升到 19/25（76%）。另一组复现报的是 12% 升到 56%，两次实验设计不同，数字不一样，方向一致。人不是不会算，是百分数的表述让人找不到分母该是哪一群人。

带走什么

看到「检出阳性」「识别准确率 95%」这类说法，先问三件事：这病在被筛的人群里多常见、假阳性会造出多少人、分母到底是哪一群人。把百分数改写成「每 1000 人里几个」，多数错误会自己浮出来。

换个数再试

把筛查场景从普通人群换成高危人群，患病率改成 1/10，假阳性率仍是 5%（本文自算）：1000 人里 100 人真有病，全部阳性；900 人健康，误报 45 人；PPV $=100/145\approx 69\%$。同一个检测，只换了基础率，阳性结果的含义从「多半是虚惊」变成「大概率真有事」。这也是为什么筛查指南要先界定人群，再谈准确度。

核心信息来源

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