正弦函数求导：为什么 (sin x)' = cos x

从定义出发

(sin x)' = lim_{h→0} [sin(x+h) − sin x] / h。

和差化积

用 sin(x+h) − sin x = 2 cos(x+h/2) sin(h/2)，于是原式 = lim_{h→0} [cos(x+h/2) · sin(h/2)] / (h/2)。

取极限

当 h→0，cos(x+h/2) → cos x，而 sin(h/2)/(h/2) → 1（重要极限）。故 (sin x)' = cos x。

附注：二阶导数记号

既然 d/dx 是求导算子，那么对 y 求两次导就是 (d/dx)(d/dx)y，分子上叠两个 d、分母上两个 dx，写作 d²y/dx²——这正是二阶导数记号的来历：它不是平方，而是"算子连施两次"。