余弦定理：一眼看穿的证明

公式

对任意三角形：c² = a² + b² − 2ab·cos C，其中 C 是边 a、b 的夹角。

向量证法

把边 a、b 看成从顶点 C 出发的两个向量 u⃗、v⃗，第三边对应向量 w⃗ = u⃗ − v⃗。两边平方： |w⃗|² = (u⃗ − v⃗)·(u⃗ − v⃗) = |u⃗|² + |v⃗|² − 2 u⃗·v⃗ = a² + b² − 2ab·cos C。 而 |w⃗| 就是边 c，于是 c² = a² + b² − 2ab·cos C。证毕。

为什么有用

它是勾股定理的推广：当 C=90° 时 cos C=0，退回 c²=a²+b²。已知两边及夹角求第三边、或已知三边求角，都靠它。

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